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Description scientifique

La théorie mathématique de la complexité consiste à classer les objets ou les problèmes en fonction de leur difficulté à les appréhender ou à les résoudre. C'est un sujet de recherche bien connu en mathématiques appliquées, notamment en analyse numérique ou en combinatoire, où l'estimation du nombre d'étapes nécessaires au calcul d'une quantité est cruciale pour une implémentation informatique. 

En mathématiques plus fondamentales, comme en géométrie ou en systèmes dynamiques, la géométrie exacte d'un objet est rarement connue avec suffisamment de précision : elle peut par exemple évoluer avec le temps, comme c'est le cas de nombreuses pièces mécaniques, ou simplement être inconnue a priori, comme la structure de l'Univers. Pour ces raisons, les caractéristiques d'un objet sont souvent évaluées en termes de quantités algébriques ou analytiques associées (par exemple, le taux de décroissance de la solution d'une équation aux dérivées partielles, etc.), qui ouvrent la voie à une mesure de sa complexité.

L'objectif de ce projet est de développer une synergie entre mathématiciens fondamentaux et appliqués afin d'étudier d'importants problèmes liés à la complexité des objets bidimensionnels (telles que les surfaces) et d'initier des recherches en dimension supérieure, où la situation est, pour la plupart des problèmes, largement méconnue. Dans ce projet, nous cherchons à étudier la complexité géométrique d'un objet mathématique (par exemple, une variété) sous trois aspects : sa métrique (c'est-à-dire la façon dont les distances sont mesurées sur l'objet), sa dynamique (c'est-à-dire les trajectoires suivies par les particules qui se déplacent sur lui) et son spectre (c'est-à-dire ses fréquences de résonance). Plus précisément, nous envisageons d'étudier les variétés extrémales pour les invariants décrivant cette complexité dans chacun des éléments ci-dessus.

Focus sur un résultat

L'étude des imbrications isométriques est étroitement liée à la régularité des objets concernés. Comme le suggère le théorème de Nash et Kuiper, toute imbrication admissible est censée avoir un comportement irrégulier, comme par exemple les ensembles de cantors. Notre première contribution concerne la paramétrisation, avec le moins de paramètres possible, de telles surfaces irrégulières. Nous illustrons ci-dessous un processus récursif capable de générer des objets irréguliers avec seulement quelques milliers de paramètres. Le goulot d'étranglement de cette approche résidait dans la combinaison d'outils de géométrie algorithmique et de techniques de représentation parcimonieuse. Cette avancée est prometteuse et cruciale pour l'analyse des propriétés spectrales des surfaces intégrées.

Activités scientifiques

Baptist Trey a débuté une thèse sous la direction d'E. Russ (IF) et B. Velichkov (LJK) en septembre 2016.

Nous avons déjà invité deux candidats à notre bourse postdoctorale financée pour 2017-2018. 

Nous organisons une réunion du CIRM à Luminy en février 2017 et une école d'été à Grenoble en 2018. 

Notre équipe organise déjà une réunion hebdomadaire dans le cadre du groupe de travail « Inégalités isopérimétriques dans les espaces métriques » organisé par H. Pajot et G. Besson.

Coordinateurs

Gérard Besson (Institut Fourier)

Edouard Oudet (LJK)

Membres

Dorin Bucur (LAMA)

Charles Dapogny (LJK)

Pierre Dehornoy (Institut Fourier)

Erwan Lanneau (Institut Fourier)

Emmanuel Russ (Institut Fourier)

Boris Thibert (LJK)

Bozhidar Velichkov (LJK)

Publications significatives

M. Bonafini, G. Orlandi and ´ E. Oudet, Variational approximation of functionals defined on 1-dimensional connected sets: the planar case, submitted.

F. Hamel, E. Russ, Comparison results for semilinear elliptic equations using a new symmetrization method, to appear in Math. Ann.

E. Lanneau, D.-M. Nguyen and A. Wright, Finiteness of Teichmuller curves in non-arithmetic rank 1 orbit closures, to appear in Amer. J. Math. (2016).

E. Lanneau, F. Valdez, Computing the Teichmueller polynomial, , to appear in J. Eur. Math. Soc. (2016).