ToFu

Elle regroupe 8 personnes de l'Institut Fourier et du G-SCOP :

• Martin Deraux
• Louis Esperet
• Francis Lazarus
• Matthijs Ebbens
• Greg McShane
• Anne Parreau
• Andrea Seppi
• Matej Stehlìk
• Yibo Zhang

Contexte scientifique

Les problèmes combinant des aspects géométriques et analytiques donnent souvent lieu à de riches échanges entre ceux qui adoptent des points de vue théoriques et numériques. L'étude des surfaces de Riemann nécessite de nombreux outils provenant de différentes branches des mathématiques - algèbre, topologie et géométrie diérentielle, mais aussi analyse combinatoire et algorithmique. Un sujet important est la compréhension des diéomorphismes d'une surface jusqu'à l'isotopie. Il s'agit d'un groupe que l'on étudie via ses actions sur les espaces construits à partir de la combinatoire des courbes sur la surface. En particulier, il agit sur l'espace de Teichmüller, l'espace de laminage mesuré de Thurston et le complexe de courbes de Harvey. Ce dernier est un graphe inné associé à une surface : un sommet est une classe d'homotopie de courbes simples et les sommets sont reliés par une arête si les courbes correspondantes peuvent être choisies comme disjointes. Il existe de nombreuses questions intéressantes concernant la géométrie métrique/combinatoire de ce graphe et plusieurs algorithmes qui y sont liés : l'algorithme de Bestvina-Handel, l'algorithme de BellWebb, les algorithmes de Leasure et de Shackleton.

Le but de ce projet est de combiner les connaissances des mathématiciens théoriques et des informaticiens afin d'étudier des questions de géométrie qui ont une nature combinatoire et algorithmique.
Plus précisément, la compréhension des longueurs des géodésiques simples fermées et du groupe de classes de cartographie d'une surface nécessite de nombreux outils analytiques provenant de la géométrie hyperbolique et de la théorie de Teichmüller, mais a également une approche algorithmique. Du côté analytique, nous espérons étendre les inégalités entre l'entropie des diéomorphismes et les invariants hyperboliques à d'autres problèmes, et les relier à des problèmes combinatoires de graphes de courbes, etc. Du côté effectif, nous développerons et utiliserons des programmes pour explorer la combinatoire des différents graphes que l'on peut associer à une surface.

Le projet comprend deux nouveaux participants financés par ToFu :

• Yibo Zhang, actuellement doctorant sous la supervision de Greg McShane et Louis Funar
• Matthijs Ebbens, maintenant post-doctorant à ToFu

ToFu finance les événements suivants :

• L'école d'hiver : Billiards à L'escandille, Autrans, 17 - 21 janvier 2022
• La conférence Complex Hyperbolic Geometry and Related Topics, CIRM, 4 - 8 juillet 2022
• La session spéciale sur les aspects combinatoires et computationnels en topologie à la réunion internationale conjointe AMS-EMS-SMF, Grenoble UGA, 18 - 22 juillet, 2022

Réunions

Groupe de travail sur les cartes combinatoires et dessins d'enfants animés par Francis Lazarus.

1. 4 octobre, 2021, 15h30-17h, introduction à la catégorie des cartes combinatoires et leurs groupes de monodromie. Dans ce formalisme, on peut énoncer une formule de Riemann-Hurwitz avec une preuve combinatoire simple. Description des cartes couvrantes et quotientes. Une carte combinatoire a une réalisation topologique naturelle.
2. 19 octobre 2021, 15h30-17h, preuve de la borne de Hurwitz sur le nombre d'automorphismes d'une carte combinatoire. Autres formalismes pour les cartes combinatoires : constellations et hypermaps. Ce dernier formalisme se trouve être un peu plus pratique pour étudier les dessins d'enfants. La réalisation topologique est en fait accompagnée d'une couverture ramifiée sur la sphère avec trois valeurs de ramification. Cette réalisation et son recouvrement ramifié peuvent être réalisés dans le domaine des surfaces de Riemann.
3. 9 novembre 2021, 14h-16h30, correspondance entre les surfaces de Riemann et les courbes algébriques. Théorème de Belyi : une surface de Riemann est définie sur \bar{Q} si et seulement si elle admet une fonction de Belyi, c'est-à-dire un recouvrement ramifié sur la sphère de Riemann avec trois valeurs de ramification. C'est le cas pour la réalisation des hypermaps. Cela nous permet de définir une action du groupe de Galois absolu sur les hypermaps. Cette action est fidèle et l'espoir est (était ?) de comprendre/approcher le groupe de Galois absolu plus facilement.